Уравнения орнаментов и паркетов

Орнаменты, привлекая своей симметрией, довольно часто используются и встречаются в окружающем нас мире. Паркеты же, в свою очередь, играют тоже немаловажную роль. С математической точки зрения орнаменты и паркеты -это покрытия плоскости фигурами, имеющими некоторые общие свойства. Стоит отметить, что не всякий <<узор>>, даже простой, состоящий из треугольников можно реализовать, как паркет, то есть покрытие плоскости.

В школьных учебниках рассмотрены лишь некоторые элементы, которые используются при построении теории орнаментов и паркетов. В учебниках геометрии 7-9 рассматриваются центральная симметрия, осевая симметрия, поворот и параллельный перенос , правильные многоугольники - понятия, необходимые для конструирования орнаментов и паркетов. Курс алгебры и начал анализа рассматривает периодические функции, их свойства, функцию y=x - первоначальные понятия и объекты, необходимые для построения симметричных и <<периодических>> фигур на плоскости. В работе нам необходимо использовать ещё одну функцию y=x- целая часть числа x, которая помогает упростить уравнения фигур на плоскости, распространяя его на всю плоскость.

Свойства паркетов, а именно возможность построения паркета из простейших фигур - треугольников, представляет собой отдельный интерес, и поэтому, исследование некоторых свойств так же представлено в работе. Основная проблема- подбор и изложение материала, подбор задач, разработка способов их решения, позволили сформулировать тему работы <<уравнения орнаментов и паркетов>>. И хотя тема предусматривает рассмотрение широкого круга вопросов, большинство из которых уходит вглубь высшей математики, в работе подобран материал, который понятен школьнику и может быть изложен на факультативе.

Работа состоит из введения, четырёх теоретических глав, пятая глава посвящена разбору задач, построению новых упражнений и заданий для самостоятельного решения.

В первой главе рассмотрен способ построения рисунка на плоскости в заданной декартовой прямоугольной системе координат. Здесь на модельном примере рассмотрены типы уравнений, с помощью которых можно задать простейшие фигуры на плоскости.

Во второй главе рассматриваются различные типы орнаментов и способы их построения с помощью уравнений.

Глава третья посвящена классическим покрытиям плоскости правильными многоугольниками, что приводит к понятию правильного паркета.

Четвёртую главу можно считать основной с точки зрения возможности конструирования новых паркетов, потому что она даёт ответ на вопрос существования паркетов из равных треугольников, полученных с помощью разрезаний плоскости.

<<Смешанные>> множества решений уравнений и неравенств.

Подбирая должным образом уравнения, можно получать самые разнообразные, подчас весьма причудливые картинки3. Например, можно получить <<рожицу>> , изображённую на рисунке 1. Как это сделать? Предварительно нам придётся вспомнить, что числовой плоскостью называется множество всех пар действительных чисел. Любое множество точек числовой плоскости условимся называть геометрической функцией, расположенной на числовой плоскости.

Можно, в частности, рассмотреть множество всех таких пар действительных чисел (x, y), для которых f (x, y) = 0, где f (x, y) -- заданное выражение. В этом случае говорят, что получающаяся геометрическая фигура описывается уравнением f (x, y) = 0.

Так уравнение x2-y=0 описывает параболу; уравнение x2 -- y2=0 -- две прямые (y=x и y= -- x), пересекающиеся в точке (0, 0); уравнение x2+y2=2 -- окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2; уравнение x+y = 1 -- квадрат с центром в точке (0, 0) и вершинами, лежащих на координатных осях.

Рассмотрим функцию y=cosx. Эта функция чётна (cos-x=cosx) и периодична (cos2PI+x=cosx), поэтому её график обладает зеркальной симметрией относительно оси ординат Oy и состоит из одинаковых периодически повторяющихся кусков.

Мы будем говорить, что график функции y=cosx (его уравнение можно записать так: y-cosx=0) является линейным орнаментом. Таким образом, линейный орнамент получается с помощью переносов некоторой основной фигуры вдоль некоторого направления. Если сам линейный орнамент считать основной фигурой и произвести над ним серию переносов вдоль нового направления, то мы получим двумерный орнамент. Повороты основной фигуры на углы, кратные 3600PI , приводят к круговым орнаментам.

Рассмотрим сначала один простой пример. B качестве основной фигуры F0 взята окружность с центром в начале координат и радиусом r=1, её уравнение в декартовой системе координат: x2+y2=1. Заметим, что все точки окружности (кроме одной) лежат в полосе -1<=x<1 (отмеченной красным цветом). Перенесём фигуру F0 вправо вдоль оси Ox на 2 единицы масштаба: она займёт положение F1 , а красная область перейдёт в синюю, определяемую неравенствами 1<=x<3. Уравнение окружности F1 в той же системе координат записывается уже в виде (x-2)2+y2=1. Аналогично можно получить цепочку окружностей F-1,F2,F-3,...,Fh,F-h... Они образуют линейный орнамент. Всю эту цепочку окружностей можно описать одним уравнением, если ввести в рассмотрение функцию y=x -- целая часть x.

Вот это уравнение: x-2x+122+y2=1. Если x находится в промежутке 2k-1, 2k+1, то это уравнение, как нетрудно проверить задаёт одну из окружностей (x-2k)2+y2=1. Вообще, если fx,y=0 (при a<=x0, k=0, +-1, +-2,...), описывается уравнением: fx-Tx-aT, y=0. Пусть теперь основная фигура F0 , заданная в полосе b<=y

Интересно отметить, что если функция y=f(x) определена в интервале a<=x

Паркеты из правильных многоугольников

Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты так, как показано на рисунке 12, а. Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов. Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников.

Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если её можно наложить на саму себя <<не тривиальным>> способом (то есть не таким, когда все точки останутся на своём месте).

Например, повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, квадратов и треугольников, на 600 вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон. Центр каждого шестиугольника этого паркета является <<центром симметрии шестого порядка>>.

Что такое правильный паркет

С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников, можно <<испортить>> его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получиться вновь <<паркет>> в смысле нашего определения. Но, подразделив, например, три шестиугольника, оставив все остальные не подразделёнными, мы получим паркет, совсем лишённый симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введём такое определение: Паркет называется правильным, если его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина наложиться на любую другую заданную его вершину.