Как удивительно многогранен и необычен окружающий мир! Вокруг всех нас, населяющих этот мир, происходит очень много событий, исходы которых предсказать заранее невозможно. Например, подбрасывая вверх монету, мы не знаем, какой стороной она упадет. Стреляя однотипными снарядами без изменения наводки орудия, в одну точку попасть невозможно. Производя повторные высокоточные измерения, например, скорости света или очень больших расстояний, обычно получают лишь приблизительно равные, но разные результаты. Невозможно абсолютно точно предсказать как объемы продаж товаров за фиксированный промежуток времени, так и сумму доходов, получаемых от реализации последних.
Все эти эксперименты производятся в одинаковых условиях, а исходы их различны и непредсказуемы. Такие эксперименты и исходы называются случайными.
Примерами случайных событий являются: соотношение курсов валют; доходность акций; цена реализованной продукции; стоимость выполнения больших проектов; продолжительность жизни человека; броуновское движение частиц, как результат их взаимных соударений и многое другое. Случайность и потребность в консолидации усилий по борьбе со стихией (природы, рынка и т.д.), точнее создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет взносов всех участников, породила теорию и институты страхования. При этом интуитивно ясно, что случайные явления, происходящие даже с однотипными объектами, могут качественно отличаться друг от друга. Например, продолжительности жизни в разных странах и в разные эпохи могут принципиально отличаться друг от друга. Первобытные люди жили около 30-40 лет, даже в России за последние годы она подвергается значительным изменениям, то поднималась до 70 лет, затем начала значительно падать, более того, она различается на 10-15 лет для мужчин и женщин. Суммы, выручаемые от реализации товаров на рынке, во многом диктуются случаем – от платежеспособного спроса населения до поведения конкурентов и умения привлечь клиентов. Броуновское движение частиц также существенно изменяется при изменении температуры (скоростей движения частиц), плотности среды и возможных течений (регулярного сноса частиц в разных направлениях и с различными скоростями).
Даже при первичном знакомстве со случайными явлениями мы видим, что внешне схожие случайные процессы или события (продолжительности жизни, броуновское движение частиц и т. д.) в разных условиях могут качественно отличаться друг от друга, и нужно уметь формально описывать их самих и их свойства. С этой целью описание событий или процессов всегда начинают с построения математической модели.
Основным элементом этой модели являются неделимые исходы экспериментов (или их части), называемые элементарными исходами. Все вместе они объединяются в множество, называемое пространством элементарных исходов. Часть подмножеств пространства элементарных исходов называются событиями (иногда имеется возможность считать событиями и все подмножества пространства элементарных исходов, но часто это сделать в принципе невозможно).
Построение пространства элементарных исходов и задание класса событий всегда производит исследователь. Это пространство является моделью эксперимента, и обычно эта модель лишь приближенно отражает истинные процессы. Фиксация модели предопределяет ответ, следовательно, окончательные выводы очень сильно зависят от выбора модели. Критерием соответствия эксперимента и модели может быть только практика, т. е. доверять модели можно только тогда, когда ранее в аналогичных ситуациях она себя оправдывала, или на основе теории изучить свойства модели и проверить, соответствуют ли они имеющемуся опыту. При этом нужно остерегаться эмоционального восприятия итогов исследований Их необходимо сравнивать только с достаточно большими массивами экспериментальных данных. Теория вероятностей не берет на себя ответственность за выбор модели, но в ней имеется широкий набор методов проверки соответствия экспериментальных данных и теоретических, полученных расчетом в рамках выбранной модели.
Третьим определяющим элементом случайных экспериментов является вероятность. Она определяется только для событий (а не любых подмножеств пространства элементарных исходов) и является аналогом частоты появления события при многократных испытаниях. Она не должна зависеть от исходов конкретных экспериментов. Выбор вероятности также относится к построению модели эксперимента и тоже всегда находится в руках исследователя. От этого выбора тоже очень существенно зависят окончательные выводы.
Появление теории вероятностей
Теория вероятностей для небольшого числа экспериментов, даже при наличии абсолютно правильной модели, редко приводит к четко определенным выводам. Однако, если имеется достаточно большое число однотипных, независимых экспериментов (подразумевается, что возможности появления случайных событий не меняются от эксперимента к эксперименту и любой из исходов экспериментов не влияет на остальные исходы), то даже при отсутствии подробной модели теория вероятностей позволяет довольно четко предсказать глобальный исход.
Теория вероятностей возникла в середине XVII в. в связи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх. Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего).
Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной ( или % ). При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 · 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 · 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.
Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна , т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события , называемого противоположным событию A, равна . При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 · 6 = 63, при четырехкратном 63 · 6 = 64. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 · 5 = 53, при четырехкратном 53 · 5 = 54. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна , а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна .
Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть.
Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны на классическом определении понятия вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех рзвновозможных случаев
Важно отметить, что произведенные выше расчеты и само понятие вероятности как числовой характеристики случайного события относились к явлениям массового характера. Утверждение, что вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости равна , имеет следующий объективный смысл: при большом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна ; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т. д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появлений шестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.
В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развивалась незначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровня естествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартные игры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.).
Игра и страсть
Страсти к игре покорны все слои общества, исключений просто нет. Некоторые психологи называют эту страсть «болезнью бедных», людей, пытающихся поправить свое материальное положение за счет выигрыша. Но есть масса противоположных примеров. Российский император Александр I, проезжая после победы над Наполеоном через Францию и являясь фактически новым хозяином освобожденной Европы, специально отправился в Монте-Карло, чтобы сыграть в казино. И это при том, что в его собственной империи за карточным столом в это время проигрывались состояния, на которые можно было купить десять таких Монте-Карло.
Во все времена страсть к игре в человеке была неискоренима. Кости, карты, рулетка, игровые автоматы... Не важно, в какой форме, важно, что на протяжении тысячелетий человека неудержимо тянуло испытать удачу, поставив на кон необходимое в надежде выиграть излишнее.
Перед игрой бессильны любые клятвы. Равно легко нарушаются и обеты Господу Богу, и воинская присяга. Скандал, разразившийся недавно в Нью-Йорке со священником из прихода в Уайт-Плейнс, мало кого удивил. Этот святой отец не просто играл в рулетку, но еще и регулярно таскал для этой цели деньги из церковной кассы. В наказание его всего лишь отстранили от работы с прихожанами, но сана не лишили.
Комментарии