Арифметические законы математики

Во все времена математика была основой научно-технического и экономического развития народов. Она является ключом к познанию окружающего мира и важной компонентой развития личности. Математика всегда была неотъемлемой составной частью человеческой культуры. Математика встречается и используется в повседневной жизни, поэтому определённые математические навыки нужны каждому человеку. Всем нам приходится считать (например, деньги), мы часто используем (даже не замечая этого) знания о величинах, характеризующих протяженности, площади, объёмы, промежутки времени, скорости и многое другое. Всё это мы получили на уроках математики. И всё это сгодилось нам в дальнейшей жизни. Ныне математические знания необходимы не только учёному и инженеру, но также врачу и лингвисту, историку и практически людям большинства профессий. Физики шутят «Математика – царица всех наук, но служанка физики». Так пошутить могут и музыканты, и биологи, и психологи и др. Кроме того, математика участвует в формировании духовного мира человека, равно как и искусство. И поэтому каждому человеку полезно знать некоторые фрагменты истории этой науки, имена её творцов, их вклад в развитие математических знаний.

«Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт…» (Лейбниц).

Тезаурус

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Это наука изучает действия над числами, различных правило общения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики.

Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теория чисел. Такой взгляд на арифметику, конечно, имеет основания – она действительно остается «азбукой счета», но азбукой «многополезнейшей» и «удобопонятной».

АРИФМЕТИКА, искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами.

Арифметика каменного века

Несколько десятков лет ученые – археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой – то древний охотник нанес пятьдесят пять зарубок.

Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварню, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью.

А еще двести – триста лет тому назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга или подати.

При расчете половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без споров и сложных вычислений.

Первыми понятиями математики, с которыми столкнулись люди, были «меньше», «больше» и «столько же». Если одно племя меняло пойманных им рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой один нож, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде.

И вот более 8 тысяч лет тому назад, для счета начали делать глиняные фигурки. Земледельцы с помощью их начали вести счет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок.

Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Арифметика – это наука о числах

Пифагор, математик и философ, учил, что число управляет всем – Луной, Солнцем, Землей, что мировой строй подобен космическому музыкальному инструменту и в его основе лежит Число; что мир – это Гармония, а гармония – это Число. Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счёта людей, животных, плодов, различных изделий человека и других предметов. На равных ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трёх предметов. На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трёх предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятие «много». В Древней Руси неопределенно большое количество обозначало слово «семь». Наши пословицы сохранили память об этой эпохе: «семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ». С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счёт в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами. От счёта с помощью камешков ведут своё начало различные усовершенствованные инструменты, как например, русские счёты, китайские счёты «сван-пан», древнеегипетский «абак» (доска, разделённая на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. В латинском языке понятие «счёт» выражается словом calculation (отсюда название калькуляция); оно происходит от слова calculus, означающего «камешек». Особую роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент мог длительно хранить результаты счёта и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден. Жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых не было названий, «показывались на пальцах» (мы тоже прибегаем к показу чисел на пальцах, когда объясняемся с человеком, не знающим нашего языка). Естественно, что вновь возникающие названия больших чисел часто строились на основе числа 10, 5, 20. На первых этапах расширение запаса чисел происходило медленно. У многих народов число сорок долгое время было пределом счёта и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок: «и один глаз, да зорок, не надо и сорок», «сидела сорок лет, высидела сорок реп». Даже на этих примерах прослеживается связь наук и культуры народа. На следующей ступени счёт достигает нового предела: десяти десятков и создаётся название для числа 100. такой смысл оно имеет, например, в загадке: «стоит поп низок, на нём сто ризок » (капуста). Такой же смысл приобретают последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион. В современном русском языке, а также языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000. В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило образованы из названий чисел первого десятка и чисел 10 100 1000. в основе этого словообразования лежит число 10, и поэтому наша система наименований называется десятичной системой счисления. Из упомянутого правила в разных языках имеются различные исключения, объясняющиеся историческими особенностями развития счёта. В русском языке единственным исключением является число «сорок» (прежде наряду с ним употреблялось слово «четыредесят»). Это исключение можно поставить в связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль. В тюркских языках исключение составляют наименования чисел 20 30 40 50. в монгольском языке исключение составляют наименования чисел 60 70 80 90. во французском языке сохранились недесятичные названия чисел 20 и 80, причём 80 именуется quatrevingt, т. е. «четыре двадцать». Здесь мы видим остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах). Этими примерами мы ещё раз подтверждаем историческую взаимосвязь наук, создаваемых человеком, и его влияние на их развитие. С этой же точки зрения может быть представлено развитее системы нумерации, т. е. способа соединения цифр для изображения больших чисел: древнегреческая, славянская, древнегрузинская, Вавилонская, римская (существует и в настоящее время), в ней сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятеричной системы нет. Значит эти цифры были заимствованы у другого народа. Римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы – до 16 века; Индийская поместная нумерация является общепринятой. К середине 8 века Индийская система проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, Иран…). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале 9 века Мухаммедом из Хорезма.

Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в 12 веке и получает преобладание в Италии. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли её «арабской». Это исторически неправильное название удерживается и поныне. Из арабского языка заимствовано слово «цифра», означающее буквально «пустое место». Это слово употреблялось для наименования знака пустующего разряда, уже позднее появляется латинский термин «нуль» (nullum – ничто).

Операция над числами

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения чисел. Правда, при этом складывались не числа, а совокупности (или, как говорят математики, множества) предметов, но операция сложения чисел как раз описывает сложение совокупностей предметов. А когда из собранных орехов часть шла в пищу, люди выполняли вычитание – запас орехов уменьшался. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай «сам-двадцать» и т. д. Наконец, когда добытое на охоте мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми членами племени, выполняли операцию деления.

Сами названия этих операций показывают, с какими действиями над предметами они связаны. Но должны были пройти тысячелетия, пока люди поняли, что складывать, вычитать, умножать и делить можно не сами совокупности предметов, а числа. Они поняли, что каждый раз, когда кладут рядом два ореха и два ореха, получается четыре ореха и что это верно и при сложении и двух пальм с двумя пальмами или двух рыб с двумя рыбами. Так люди узнали, что «два плюс два равно четырём». Постепенно накапливая такие знания, они обучались выполнять действия над всё большими и большими числами. Таким путём возникло учение о числах, получившее всё больше приложений в практике .