Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: А.В.Силин | Добавлено: 2015-04-22

Исторические сведения создания геометрии Евклида

Первоначальные геометрические понятия возникли в доисторические времена. На протяжении многих веков, начиная с третьего, совсем до не давнего времени единственно верной, непротиворечивой системой считалась геометрия Евклида. Примерно тоже можно сказать о других геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытию простейших геометрических зависимостей и соотношений. Немало великих гениальных учёных ломали головы в попытке исправить недоработку Евклида. Но у всех его последователей была одна и та же ошибка: они брали за основу то, что аксиомы и постулаты, изложенные в “Началах”, верны.

Со временем требования науки менялись (естественно, становились жёстче) и определения Евклида стали не такими очевидными. Вот некоторые из 23-х определений:

  • Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по-видимому, заимствовано у его предшественников и восходит к Демокриту)
  • Линия есть длина без ширины
  • Граница линий суть точки
  • Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам
  • Поверхность есть то, что имеет длину и ширину
  • Граница поверхностей суть линии
  • Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим
  • Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости

Эти определения нельзя считать логически конкретными. В них употребляются такие понятия, которые сами должны быть определены.

На первых уроках геометрии в седьмом классе мы познакомились с утверждениями – аксиомами, не подлежащими доказательству. На них в дальнейшем строится полный курс геометрии, изучаемой в современных общеобразовательных учреждениях, называемой «Геометрия Евклида». Учитель подвела нас к мысли, что нужно обстоятельно и подробно изучать очевидное для учащихся отношение. Возникает неприятная ситуация. Оказывается, что в науке мы не можем опираться на очевидное, что было доказано блистательным ученым Н.И. Лобачевским и его продолжателем Бернардом Риманом.

Современный научный мир стоит на пороге этой проблемы довольно давно. Сделано много фундаментальных открытий, перевернувших науку.

Но всё же в этой области остаётся много неисследованного.

Исторические сведения создания геометрии Евклида

Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии, основанных на теории изучения геометрических фигур. Именно эта работа заложила фундамент развития традиционной геометрии как науки, изучаемой в настоящее время в школьном курсе. Его книга «Начала» только до 1880 года выдержала 460 изданий. Способ построения «Начал» стал единственно верным для всех научных работ: «Перечисление основных, естественных понятий», «Перечисление основных аксиом» и т.д. Метод доказательства от противного – тоже его заслуга. Он же сформулировал следующие аксиомы геометрии:

  • через две точки можно провести одну и только одну прямую;
  • прямая продолжается бесконечно;
  • две параллельные прямые никогда не пересекутся;
  • через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной;
  • две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны;
  • сумма углов треугольника равна 180о и так далее.

Важнейшим недостатком системы этих аксиом и постулатов является их неполнота, недостаточность для строго логического построения геометрии. Евклид же, при доказательстве теорем, не всегда основывался на аксиомах, часто прибегал к интуиции, наглядности и чувственному восприятию.

Создание неевклидовой геометрии

Лобачевский Николай Иванович [1792-1856], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого чиновника. Учился в Казанском университете. Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании университета получил степень магистра (1811) и был оставлен при университете. В 1822 – ординарным профессором. Работая над развитием геометрии, в 1826 году, будучи деканом физико-математического факультета, он сделал доклад, содержавший основы неевклидовой геометрии. В 1830 год он опубликовал в журнале «Казанский вестник» мемуары «О началах геометрии», и это была первая публикация основ его теории. За тридцать лет до кончины Лобачевский впервые высказал нестандартное мнение о том, что теория Евклида неточна в области геометрии. Впоследствии Лобачевский оказался прав. И математический мир признает гения и назовет «Коперником геометрии». Начал русский математик с того, что заменил аксиому Евклида своей аксиомой: - через точку, лежащую вне прямой в плоскости, определяемой ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающихся с данной.

Итак, согласно аксиоме Лобачевского, прямые а1 и а2, проходящие через точку А, не пересекают прямую в.

Лобачевский доказал, что любая проведенная прямая принимает форму окружности бесконечного радиуса, так как планета Земля и видимая часть Вселенной принимают форму шара. Лобачевский получил другую геометрическую систему, которую назвал «воображаемой геометрией». Тем самым разрушил незыблемость теории Евклида. Доказательством непротиворечивости какой-либо геометрии является построение моделей. Одной из первых моделей, в которой «работает» геометрия Лобачевского, является круг . Неевклидовыми точками будут считаться те, которые расположены внутри него. Точки, лежащие на окружности, исключаем из рассмотрения. Прямыми будем считать хорды данной окружности. Из точки А проведем хорду АВ. Концы данной хорды лежат на окружности, следовательно, мы принять их не можем. Все точки, лежащие внутри круга и принадлежащие хорде АВ, являются неевклидовыми и мы их можем принять во внимание, но какое бы малое расстояние мы ни брали, приближаясь к точке А, все равно будет существовать еще более маленькое, еще более близкое к точке А. Отсюда можно сделать вывод: хорда АВ не имеет четко определенного начала и конца, следовательно, АВ – неевклидова прямая. По рисунку видно, что через точку С, не лежащую на АВ, можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих хорду-прямую АВ. Следовательно, аксиома Лобачевского верна для этой модели.

Еще одну модель прямой, в которой также выполняются и действуют законы геометрии Лобачевского, можно получить следующим образом. Рассмотрим «цепную» кривую (линия провисания тяжелой цепи, закрепленной на концах)

В точке пересечения с осью ОУ - точке А, «цепную» кривую можно «разрезать». «Упав», она образует трактрису.

О математических особенностях трактрисы можно сказать следующее. Длина касательной (отрезок от точки касания до оси абсцисс) есть величина постоянная. При этом ветви кривой неограниченно стремятся к оси ОХ. Вращая трактрису вокруг оси ОХ, получим поверхность вращения в виде двух сложенных раструбов .

Эта поверхность называется псевдосферой. Данная фигура представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны. Это значит, что сумма углов треугольника, построенного на ней, меньше 1800.

Развивая далее свои рассуждения, ученый приходит к нескольким интересным выводам: он получает зависимость, позволяющую по сторонам треугольника вычислить его углы, выясняет, что сумма углов в треугольнике действительно меньше 1800, а следовательно, в четырехугольнике сумма углов меньше 3600, доказывает, что если известны углы треугольника, то можно однозначно вычислить его стороны, а следовательно, не существует подобных треугольников!

Борьба между греком, стоявшим у истоков геометрии, и русским гением, стоявшим на пороге новой эры математики, продолжалась. Однако Лобачевский был полностью убежден в неевклидовости мирового пространства.

Можно заметить, что ограниченность космического пространства, которое видит человек, используя самые мощные астрономические приборы, позволяет сразу поколебать незыблемость евклидовой геометрии. Действительно, астрономические инструменты позволяют видеть отдельные части метагалактики, находящиеся от нас в нескольких миллиардах парсеков (парсек равен 3,26 светового года). Напомним, что свет распространяется со скоростью 300 000 километров в секунду. Таким образом, хотя Вселенная гипотетически и безгранична во времени и пространстве, видимая нам часть пространства ограничена. Черным цветом окрашена невидимая нам часть Вселенной. Соответственно, если ограничить размеры Вселенной до видимых нам, то в ней будет выполняться геометрия Лобачевского.

Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем так. Лобачевский не отвергал наличие параллельных прямых. Он немного изменил свойство параллельности прямых: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых; две прямые, перпендикулярные третьей, не параллельны .

Многие ученые, такие как Гаусс, Больяи, Саккери, Ламберт, Лежанр, вели математические бои с теорией Евклидовой геометрии, но Лобачевский превзошел всех.

Риман (Riemann) Георг Фридрих Бернард (1826-1866), немецкий математик. В 1846 поступил в Геттингенский университет: слушал лекции К. Гаусса, многие идеи которого были им развиты позже. Исследования евклидовой и неевклидовой геометрии привели Бернарда Римана к существованию поверхности положительной кривизны, на которой сумма углов треугольника больше 1800. Обнаружить такую поверхность довольно просто. Ею является обычный шар. Условимся считать прямой на сфере любые окружности большого круга, т.е. те, которые получаются при пересечении шара плоскостью, проходящей через центр шара. Следовательно, на данной сфере не может иметь место ни геометрия Лобачевского, ни геометрия Евклида. Что касается треугольников, то сумма их углов здесь всегда больше 1800. В 1854 году Риман прочитал знаменитую лекцию о гипотезах, лежащих в основании геометрии, на философском факультете Геттингенского университета. Единственным, высоко оценившим ее человеком, был великий Карл Гаусс. Он опубликовал в 1868 году эти материалы, произведшие огромное впечатление на математиков. Риман включил в число аксиом следующее утверждение: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Это означает, что в геометрии Римана вообще нет параллельных прямых. Сумма же углов треугольника в его геометрии больше 1800, следовательно, в четырехугольниках больше 3600, что отлично от геометрии Евклида и геометрии Н.И.Лобачевского. При этом пространство русского математика оказалось одним из частных случаев Римановых пространств. В лекции Бернарда Римана были затронуты общие вопросы, связанные с геометрией физического пространства. Это неожиданное заключение теории Римана впоследствии было подтверждено наблюдениями астронома Хаббла в 1929 году, обнаружившего разбегание туманностей. Современный уровень науки не позволяет нам точно сказать, как же все-таки искривлена Вселенная на самом деле. И все же большинство ученых считают, что ее кривизна непостоянна, а следовательно, ни геометрия Лобачевского, ни геометрия Евклида, ни геометрия Римана не может безраздельно править в ней.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)