Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: Г.А.Аджемян | Добавлено: 2015-02-19

Преобразование Наполеона

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств этому – несколько составленных им задач. Данная работа посвящена одной из них, которая перешла в геометрическое исследование, и работа приобрела более глубокий смысл.

Что же представляет собой преобразование Наполеона многоугольников? Преобразование Наполеона многоугольников сопоставляет многоугольнику новый многоугольник, вершины которого являются центрами правильных многоугольников, построенных на сторонах исходного. Возьмем, к примеру, произвольный n-угольник и построим внешним образом на его сторонах правильные n-угольники. Соединим центры правильных n-угольников отрезками. В результате мы получим еще один n-угольник. Получившийся n-угольник и будет являться преобразованием исходной фигуры.

Преобразования некоторых n-угольников (например, 4-угольников, 6-угольников) обладают очень интересными свойствами. Некоторые из них будут представлены в данной работе.

Преобразование Наполеона вложенных фигур

Рассмотрим треугольники, лежащие в координатной плоскости. В этом случае треугольник будет задаваться координатами трёх вершин. Построим такой треугольник. Введем систему координат с началом отсчета в точке О (0;0).

Отметим три точки А, В, С так, чтобы они не лежали на одной прямой . Эти три точки и будут вершинами треугольника. Соединим точки А, В и С отрезками. Мы получили треугольник АВС. Теперь построим его преобразование N(АВС). Для этого на сторонах АВС построим правильные треугольники и соединим их центры отрезками. Таким образом мы построили N(АВС), т.е. преобразование АВС. В дальнейшем будем называть преобразование Наполеона в координатной плоскости преобразованием Наполеона вложенных фигур.

Ядро линейного преобразования

Ядро линейного преобразования – это множество, переходящее в нуль. Ядро преобразования Наполеона треугольников – это правильные треугольники с центром в (0;0) с обратным порядком вершин. Как мы видим, при изменении порядка вершин треугольника, его преобразование стремится превратиться в точку, а если и дальше придвигать вершину треугольника к противоположной вершине правильного треугольника, построенного на противолежащей стороне, то оно превратится в точку. Поместим в начало координат. Получили ядро, то есть Ker(N).

Как мы видим, при превращении треугольника АВС в Ker(N), порядок вершин меняется . Если в обычном положении вершины расположены по часовой стрелке, то в Ker(N) вершины расположены против часовой стрелки. Треугольник АВС в таком случае является правильным (можно показать измерениями), причем преобразование этого треугольника переходит в точку, расположенную в начале координат. Следовательно, ядром преобразования Наполеона треугольников являются правильные треугольники с центром в (0;0) и с обратным порядком вершин.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)