Основные понятия тригонометрии

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Древнегреческие ученые разработали «тригонометрию хорд», изложенную выдающимся астрономом Птолемеем (II в.) в его работе «Альмагест». Птолемей вывел соотношения между хордами в круге (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время математической символики), которые равносильны современным формулам для синуса половинного угла, суммы и разности двух углов:

Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в VIII в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия постепенно превратилась из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. Помимо синуса были введены и другие тригонометрические функции, и для них были составлены таблицы.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в X-XI вв. Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе OC (т.е. радиусу единичной окружности), то в середине века термином «синус» обозначали саму линию синуса BC. То же относится к косинусу, под которым понималась линия косинуса OB, и другим тригонометрическим функциям.

Лишь постепенно, благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач. Окончательный вид она приобрела в XVIII в. в трудах Л. Эйлера.

Определение, свойства и график функции синус

На координатной плоскости OXY построим окружность единичного радиуса с центром в точке . Радиус, где точка имеет координаты , будет называться начальным радиусом. Для любого действительного числа можно провести радиус этой окружности, образующий с осью ОХ угол, радианная мера которого равна . Угол отсчитывается от начального радиуса (на рисунке угол - положительный, так как отсчет угла происходит от против хода стрелки часов).

Определение.Синусом угла называется число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу , и обозначается . Таким образом, по определению. Так как каждому углу соответствует на единичной окружности единственная точка с ординатой, то соответствие является функцией. В дальнейшем будем писать.

Cвойства функции:

• Областью определения. функции является множество действительных чисел . Свойство следует из определения функции.
• Область значений. Tак как ордината точки, являющаяся концом радиуса, может принимать значения на отрезке .
• Периодичность. Функция является периодической с наименьшим положительным периодом.
• Четность и нечетность. Функция является нечетной.
• Знаки функции.
• Точки экстремума.
• Промежутки возрастания и убывания.