Парадоксы Зенона

Ни знание, ни мышление никогда не начинаются с полной истины – она их цель; мышление было бы ненужно, если бы были готовы истины.

Парадоксы Зенона (около 425 до н.э.) – одни из самых интересных задач в мире математики. На первый взгляд невероятно простые, они на самом деле затрагивают такие вопросы, как бесконечность, неделимость пространства и времени.

Прежде всего, хочется сказать, что Зенон Элейский – древнегреческий философ, представитель Элейской школы, ученик Парменида. И, как хороший ученик, Зенон сформулировал ряд апорий (парадоксов, неразрешимых положений) для доказательства учения Парменида о едином неподвижном бытии. Считается так же, что данные парадоксы были направлены против соперничавшей с элеатами школы, вероятнее всего, против пифагорейцев, которые полагали, что величина или протяженность составлена из неделимых частей. Аристотель приводит следующее пифагорейское определение точки: "Единица, имеющая положение" или "Единица, взятая в пространстве".

Наиболее известны апории о движении: Ахиллес и черепаха, Дихотомия, Стрела, Стадий. Впервые они с вариантами решения были упомянуты в работе Аристотеля.

Ахиллес и черепаха

В данном парадоксе Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не сможет догнать идущую впереди него черепаху.

На первый взгляд, ответ очевиден. Ахиллес догонит черепаху. Но в решении таится загвоздка, над которой многие ученые спорят до сих пор и не могут сойтись во мнении.

Решить эту задачу можно с помощью геометрической прогрессии. Так, чтобы догнать черепаху, Ахиллесу с начала необходимо достичь места, откуда она начала свой путь. Для этого ему нужно пройти половину пути, затем половину половины пути и так далее. То есть каждый раз путь будет уменьшаться в 0,5 раза. Это и есть наша геометрическая прогрессия со знаменателем q=0,5. По знаменателю мы видим, что прогрессия бесконечно убывающая. Следовательно, путь Ахиллеса будет стремиться к нулю, но тогда он никогда не догонит черепахи!

Дихотомия

В данном парадоксе утверждается, что, прежде чем движущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пройти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и так далее до бесконечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам всякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данный путь невозможно пройти за конечное время. Более того, этот довод действителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь угодно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места.

Стрела

В данной апории Зенон утверждает, что любая вещь либо находится в состоянии покоя, либо движется. Доказывал он это на примере стрелы. Зенон утверждал, что летящая стрела не движется, так как в определенный момент времени занимает пространство, равное себе, а такое пространство может занимать только недвижимый предмет.

На протяжении многих лет среди математиков и философов не утихали споры об апориях Зенона. Их до сих пор пытаются логически обосновать, доказать. Суть парадоксов Зенона заключается в том, что ни пространство, ни время нельзя рассматривать, как множество бесконечных чисел не взаимосвязанных друг с другом. Многие специалисты согласились со знаменитым анализом парадоксов Зенона, данным Бертраном Расселом. По мнению Рассела, парадоксы Зенона не были удовлетворительно решены вплоть до появления теории бесконечных множеств Георга Кантора.

Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему - последовательную теорию бесконечных множеств.