Блуждания по лабиринтам
В память о древних временах, когда пещеры были приютом для первобытных людей, оспаривавших право жить в них у львов и медведей, люди стали возводить сооружения, выйти из которых было не легче, чем из таких пещер. Греческий историк Геродот описывает такое сооружение в древнем Египте, причём по его словам оно было более впечатляющее, чем даже пирамиды.
Для современною математика, как и для любого человека, интересны тги сказания о давно прошедших временах, но его интересует и чисто математический вопрос: есть ли способ выбраться из лабиринта и не заблудиться в нём?
Меня этот вопрос тоже заинтересовал. Прочитав и изучив дополнительную литературу, я узнала, что: чтобы гарантированно выйти из лабиринта, нужно при входе прикоснуться правой рукой к правой стенке лабиринта и смело идти по всем его проходам, не отрывая руки от стены. Этот способ обеспечивает выход из лабиринта, но только в том случае, если надо выйти из того места, куда мы вошли. А что же делать, если надо войти в лабиринт через один вход, а выйти через другой?
Тогда наша стратегия может не сработать. Чтобы не только выбраться из лабиринта, но и обойти все его коридоры, существуют следующие правила:
Если по новому пути попадаем на перекресток, где уже были раньше, следует вернуться назад, отметив прибытие на перекресток и выход из него двумя чертами.
Выйдя из начального пункта или из какого-нибудь перекрестка, идем до тех пор. пока не придем к (а) глухому концу коридора или (б) к другому перекрестку. В (а) случае возвращаемся назад, отметив на плане у входа этот путь двумя чертами, так как коридор пройден дважды. В (б) случае продолжаем путь, отметив одной чертой вход в перекресток и выход из него.
Если попадаем на перекресток с уже пройденным путем, надо идти далее по новому пути, а если такого нет, то по пути, пройденному лишь один раз.
Выполнение этих правил обеспечит Вам обход всего лабиринта, причем ни один коридор не будет пройден более, чем 2 раза.
История лабиринтов
Само слово «лабиринт» - греческое и в переводе означает ходы в подземельях. Этим словом чаще всего обозначали именно искусственное чрезвычайно сложное сооружение, составленное из очень большого числа аллей и галерей. Бесчисленные разветвления, перекрестки и тупики, которые заставляли попавшего туда бесконечно блуждать в тщетных поисках выхода.
Лабиринты бывают самой разнообразной формы и устройства: подковообразные, кругоспиральные. почкообразные. До наших дней сохранились еще и запуганно-сложные галереи, и ходы пещер, и архитектурные лабиринты над могилами, и извилистые планы на стенах или полах, обозначенные цветным мрамором или черепицей, и извивающиеся тропинки па почве, и рельефные извилины в скалах. Все лабиринты имеют более исторический, чем математический интерес. Распутать их не трудно.
С течением времени фигуры эти потеряли свое символическое значение и сделались мало-помалу предметом развлечений. Лабиринты переходят в сады, цветники и парки, где путем проведения прихотливо извивающихся, то пересекающихся, то внезапно прегражденных или заканчивающихся тупиком дорожек получались самые запутанные и головоломные фигуры, в которых действительно нелегко было найти дорогу от края к центру и где трудно было не заблудиться. Меня привлек вопрос: возможно ли построить или даже начертить безвыходный лабиринт, т. е. такой, в котором найти путь к его центру и найти отсюда обратный выход было бы только делом удачи, случая, счастья, а не совершенно определенного и правильного математического счета.
Снова обратившись к справочной литературе, я узнала, что разрешение этого вопроса принадлежит сравнительно позднейшему времени, чем его постановление и начало ему положено знаменитым Эйлером. Результаты его поиска безвыходных лабиринтов привели к заключению, что таких лабиринтов нет. Разрешение каждого лабиринта может быть найдено и притом сравнительно простым путем.
Первый рассказ о лабиринте был найден в работе «История» древнегреческого историка и путешественника Геродота (484-425гг. до н.э.). Гам он описывал историю создания огромного Фаюмского лабиринта на севере Египта.
Один из правителей XVIII века династии египетских фараонов Аменеихет III (около 1456-1419 гг. до н.э.) в центре Фаюмской области возвёл пирамиду; заупокойный храм при ней был построен в виде лабиринта.
Вот что писал о нём Геродот: «Я видел этот лабиринт: он выше всякого описания. Конечно пирамиды—это огромные сооружения, и каждая из них по величине стоит многих творений египетского строительного искусства, вместе взятых, хотя и они так же велики. Однако лабиринт превосходит размерами и эти пирамиды. В нём 12 дворов с вратами, расположенными одни против других, причём шесть обращены на север, а шесть на юг, прилегая друг к другу. Снаружи вокруг них стоит одна-единственная стена. Внутри этой стены расположены покои двух родов: одни подземные, другие над землею, численностью в 3000. а именно по 1500 тех и других. По наземным покоям мне самому пришлось проходить и осматривать их. и я говорю о них как очевидец. О подземных же покоях знаю лишь по рассказам: смотрители-египтяне ни за что не желали показать их. говоря, что там находятся гробницы царей, воздвигших этот лабиринт, а так же гробница священных крокодилов. Поэтому-то я говорю об утих покоях только понаслышке. Верхние же покои, которые мне пришлось видеть, превосходят все творения рук человеческих. Переходы через покои и извилистые проходы через дворы, будучи весьма запутанными, вызывают чувство бесконечного изумления: из дворов переходишь в покои, из покоев в галереи с колоннадами, затем снова в покои и оттуда опять во дворы.»
Один из прекраснейших древнегреческих мифов также связан с лабиринтом.
Критский царь Минос приказал знаменитому художнику архитектору Дедалу построить лабиринт. В этот лабиринт с бесчисленными коридорами, (униками и переходами Минос поселил Минотавра—кровожадное чудовище с человеческим телом и головой быка. И потребовал от афинян, убивших его сына, раз в девять присылать на съедение чудовищу семерых сильнейших юношей и семерых красивейших девушек. Их отводили в лабиринт, и юные афиняне, блуждая гам, становились жертвами Минотавра. Когда афиняне готовили кровавую дань в третий раз. сын афинского царя Эгея—Тесей, задумал освободить родной город от позорной и жестокой обязанности. Вместе с очередной группой жертв Минотавра он отбыл на Крит с целью убить чудовище. Корабль в знак траура отбыл с чёрными парусами, с условием, что в случае победы, спасённые афиняне возвратятся под белыми парусами, имевшимися на корабле.
Дочь Миноса—Адриадна полюбила мужественного Тесея и решила помочь ему в уничтожении Минотавра. Взяв у Дедала волшебный клубок ниток, с помощью которого можно было найти выход из лабиринта, Адриадна передала его Тесею. Он привязал у входа в лабирин i конец нити и отправился на поиски чудовища, постепенно разматывая клубок. Поединок закончился победой Тесея, который потом при помощи нити Адриадны вышел из лабиринта и вывел оттуда всех обреченных.
На обратном пути в Афины герой забыл сменить парус на белый. Эгей, увидев черный парус—знак гибели сына, бросился в море, которое в последствии и стали называть Эгейским. Узнав о роли Дедала в победе Тесея, Минос заключил художника вместе с сыном Икаром в лабиринт. Они были освобождены Женой Миноса. Сделав крылья из скрепленных воском перьев, Дедал вместе с Икаром улетели с острова. В пути Икар поднялся слишком высоко, солнце растопило воск, и юноша упал в море, которое поэтому то и назвали Икарийским.
Уже давно слова «лабиринт» и «нить Адриадны» стали именами нарицательными. Лабиринт—это запутанное, безвыходное состояние, а нить Адриадны—путь к правильному решению трудной задачи, помощь в запутанной и безнадежной ситуации.
В древности изображение лабиринта было своеобразной эмблемой Крита; очертания лабиринтов использовались на государственных печатях и монетах.
Знаменитые каменные лабиринты—самые древние и самые загадочные памятники Соловецкою музея-заповедника. Всего в мире их известно 60, в том числе на Соловецких островах—33. Северные каменные лабиринты—одна из сложнейших археологических загадок.
Построены они в конце I—начала II тысячелетия до н.э. Неясным остается то, почему одинаковые архитектурные решения лабиринтов встречаются в разных местах земною шара.
Древние люди изображали окружающий их мир в виде круга или концентрических окружностей, а мир мертвых—в виде спирали или лабиринта.
Как же появилась идея создания лабиринтов?
Около двух миллионов лет назад образовалась сложная система подземных пустот-лабиринтов на территории Тернопольской области.
Легендарна история киевских пещер, служивших убежищем человеку уже около 4000 лет назад.
Многие легенды об этих пещерах перекликаются с древнегреческими мифами. Многие города и крепости построены в виде лабиринтов. Часто лабиринты сооружали вокруг замков и в их подземельях. В случае опасности владелец замка и его приближенные, знавшие план лабиринта, прятали там свои сокровища и спасались сами.
Некоторые народы сооружали и сооружают жилища в форме лабиринта. Вот отрывок из книги Л.М.Минца «Последние из каменного века»:
«От деревни до деревни дня два пути, а то и больше. Гуще селиться люди не могут—им нечем было бы себя прокормить. Каждая деревня обнесена высокой и толстой стеной. В этих местах строя г надежно, чтоб не проник в деревню непрошенный гость—ночной зверь или лихие люди. которые не так давненько часто встречались в этих местах. А из-за стены торчат острые конусы крыш из просяной соломы. Сгрудились они так плотно, что ,кажется, налезают одна на другую в беспорядке. Па самом же деле хижины стоят за стеной продуманно, по установившемуся издавна порядку. Ни в одно из помещений нельзя войти, минуя другие, ибо вход во все дома один.
Получается огромная квартира со множеством смежных комнат. Так все это запутанно, что посторонний человек непременно заблудится, и уж во всяком случае не останется незамеченным.
Сами жители, естественно, знают план лабиринта как свои пять пальцев. Они ведь здесь выросли и большую часть жизни проводят в квартире-деревне.
Есть у жилого лабиринта и другие достоинства: в любое место можно пройти под крышей. А в жару или в сезон дождей это преимущество немалое.»
Многие племена Мали, Зимбабве и других стран Африки и сегодня сооружают свои жилища по такому же принципу.
Геометрическая постановка задач о лабиринтах.
Аллеи, дорожки, коридоры, галереи, шахты и т.п. лабиринты тянутся, изгибаясь во все стороны, перекрещиваются, расходятся во всевозможные стороны и по различным направлениям, ответвляются, образуя тупики и т.д. Ноя для большей ясности рассмотрения вопроса все перекрестки буду обозначать просто точками.
А все эти дорожки, тупики и аллеи буду принимать за линии, прямые или кривые, плоские или нет—неважно, но эти линии соединяют точки (то есть перекрестки). Эти линии и точки вместе составляю! геометрическую сечь или лабиринт, если какая-либо точка, движущаяся по линиям этой сети, может прийти к любой другой точке, не покидая нашей системы (сети).
Приняв такие условия, я доказала, что подобная движущаяся точка, представляющая. например, человека, может последовательно описать все линии сети без всяких скачков и перерывов и при этом по каждой линии она пройдет ровно два раза. И конечно же она пройдет через точку, обозначающую выход из лабиринта.
По дополнительные трудности возникают тогда, когда блуждающий по лабиринту не имеет ею плана и видит только участок, находящийся в непосредственной близости от него. Сразу возникает вопрос: как же без плана лабиринта не заблудиться в нем? Я нашда ответ и на этот вопрос, но перед тем как приступить к ответу, я хотела бы описать одно математическое развлечение, которое я выполнила, чтобы лучше уяснить все предыдущие правила и описания прохождения лабиринтов.
На листе белой бумаги я взяла несколько точек и соединила их по две произвольным числом прямых или кривых линий, но так, чтобы ни одна точка не осталась изолированной.
Изобразив это, я получила ту самую геометрическую сеть. Затем на куске пепросвечивающей бумаги или картона вырезала небольшое отверстие, через которое была бы видна только небольшая часть составленной решетки или лабиринта. Я направляла окуляр(отверстие для глаза) моего «экрана» па какой либо перекресток «точку» моей сети. Я назвала ее точкой А, и дала себе такое задание, чтобы помнить уже пройденные окуляром линии, я стала на каждой проходимой линии ставить поперечную черточку при входе в перекресток и при выходе из него. Отсюда следует, что два конца каждого пути от перекрестка до перекрестка после выполнения задания должны быть обозначены двумя поперечными черточками, но не более.
Но если мы имеем дело с действительными лабиринтами, то блуждающему вместо черточек на бумаге придется делать уже иной знак, чтобы ориентироваться и класть, например, камень при входе и выходе из каждого перекрестка- в коридоре, который он покидает, и в гом, в который он вход иг,
Решение задач о лабиринтах
Придерживаясь точно указанных правил, мы обойдем два раза все линии сети и придем в точку отправления. Это можно доказать, сделав и уяснив предварительно такие замечания:
Выходя из точки отправления, скажем А, мы ставим начальный знак (поперечную черточку).
Прохождение через перекресток по одному из предыдущих трех правил каждый раз добавляет два знака (2 поперечные черточки) на линиях, которые сходятся в этой точке.
В любой момент прохождения лабиринта, перед прибытием на какой- либо перекресток или после отправления из него, начальный перекресток( пункт отправления) имеет нечетное число знаков ( черточек),а всякий другой перекресток имеет их четное число.
В любой момент, до или после прохода через перекресток, начальный перекресток имеет только один путь, обозначенный только одной черточкой. Всякий же иной из посещенных уже перекрестков может иметь только 2 пути, обозначенных одной черточкой.
После полного обхода лабиринта у всех перекрестков все пути должны иметь по две
черточки. Это, в прочем, входит прямо в условие задания.
Мы будем вынуждены закончить наш путь и возвратиться в начальный перекресток А. Назовем эту последнюю линию ZA.. то есть она ведет из перекрестка 7 в начальный А. Этот путь должен быть тем самым, которым мы отправились первый раз из А. иначе путь можно было продолжить. И если теперь мы вынуждены этим путем возвратиться в начальную точку, то это значит, что из перекрестка Z нет никакого другого пути, который не был бы уже 2 раза пройден.Иначе это значило бы. что мы забыли применить первую часть правила III, более того, это значило бы. что в Z есть какой-то путь YZ, пройденный только один раз. Итак, при последнем возвращении в А все пути в Z должны быть отмечены двумя черточками. Точно гак же это можно доказать для предшествующего перекрестка У и для всех остальных. Наше предположение доказано, и задача решена.
Игры-лабиринты
Гак как лабиринты загадочны и заманчивы, они очень скоро стали использоваться в играх. Ими увлекались уже дети древних греков и римлян. Об этом свидетельствует сохранившийся на стенах одного из домов Помпеи детский рисунок лабиринта и надпись возле него на латинском языке:»Лабиринт. Здесь живет Минотавр».
В Англии знаменитым архитектурным лабиринтом была беседка Розамунды.
К началу нового времени вошли в моду парковые лабиринты из кустов, деревьев или решеток. Самый знаменитый и существующий до сих пор кустарниковый лабиринт был сооружен в 1690 году в Хэлптон-Кортс.
Комментарии